頼み事をされ、「心当たりを当たってみます（なんと当たりそうな響き）」と英語で返答したいなら、

　　I’ll ask around.
　　I’ll call around.
　　I’ll look around.

があり、それぞれask [電話･メール・直接など手段は様々]、call （電話する）、look（見る）というイメージで使えます。

　そして、aroundには「あちこち」という意味があります。

　　I’m going to shop around.

と言えば、あちこちで買い漁るのではなく、「店を何軒か見て回る」「あちこちの条件・善し悪しを比較する」ことを指し、

　　It’s important to shop around before you decide on an insurance company.

なら、「保険会社を決める前にいくつか見ておくことが大切です」というアドバイスです。

　　ちなみに、

　　My parents have traveled around the world. They’ve been to 40 countries.

と言えば、世界を一周したというより、これまで世界のあちこちを旅しているという意味です。